Goldbach (Goldbah 1690-
1764) nema nikakvog značaja u matematici, izuzev što je ovaj problem poslao
Ojleru 1742. godine u pismu. On je primetio da za svaki slučaj koji je probao,
bilo koji paran broj (osim 2 koji je prost) može da se predstavi kao zbir dva
prosta broja. Na primer: 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7,
16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ....... , 48=29+19, ....... , 100=97+3, itd.
Goldbah je pitao Ojlera da li može da dokaže ovu hipotezu, ili pak da nađe
primer koji bi je opovrgao. Ojler nije uspeo da da odgovor, niti je bilo ko drugi
do danas u tome uspeo. Empirijskim proveravanjem vidimo da je ova
pretpostavka verovatno tačna. Teškoća leži u tome što su prosti brojevi
definisani preko množenja, dok se problem odnosi na sabiranje. Uopšte, teško je
utvrditi vezu između multiplikativnih i aditivnih osobina prirodnih brojeva.
Do skora, dokaz Goldbahove hipoteze izgledao je nemoguće. Danas on ne
izgleda nerešiv. Važan uspeh, veoma neočekivan i zaprepašćujući za sve
stručnjake, postigao je 1931. god. tada nepoznati, mladi ruski matematičar
Schnirelmann (Šnirerlman, 1905-1938), koji je dokazao da se svaki prirodan
broj može prikazati kao zbir ne više od 300.000 prostih brojeva. Mada ovaj
rezultat izgleda smešan u poređenju sa ciljem dokazivanja Goldbahove hipoteze,
to je ipak prvi korak u tom pravcu. Dokaz tog rastajanja za proizvoljan broj.
Nešto skorije, ruski matematičar Vinogradov, koristiće metode Hardya (Hardi)
Littlewooda (Litlvud) i njihovog velikog indijskog saradnika Ramanujana,
uspeo je da broj 300.000 smanji na 4. Ovo je mnogo bliže rešenju Goldbahovog
problema. Međutim, postoji velika razlika između Šnirerlmanovog i
Vinogradovog rezultata, veća nego što je razlika između 300.000 i 4.
Vinogradov je dokazao teoremu samo za "dovoljno velike" prirodne brojeve;
tačnije, Vinogradov je dokazao da postoji prirodan broj N takav da se svaki ceo
broj n>N može da se prikaže kao zbir od najviše 4 prosta broja. Njegov dokaz ne
omogućava da se odredi N; suprotno Šnirerlmannovom dokazu, ovaj je
indirektan i nekonstruktivan. Vinogradov je, u stvari, dokazao da pretpostavka
da beskonačno mnogo prirodnih brojeva ne mogu da se rastave na najviše 4
prosta sabirka vodi do kontradikcije. Ovde imamo dobar primer bitne razlike
između ove dve vrste dokaza, direktnog i indirektnog.
Sledeći problem, još istaknutiji od Goldbahovog, nije ni blizu rešenja.
Primećeno je da se prosti brojevi često javljaju u parovima oblika p i p+2. Takvi
su, npr., 3 i 5, 11 i 13, 29 i 31, itd. Veruje se da je tvrđenje da postoji
beskonačno mnogo takvih parova tačno, ali ni najmanji korak nije učinjen koji
bi nas probližio dokazu.
http://alas.matf.bg.ac.rs/~zlucic/view_pdf.php?id=342
Goldbahovi parovi
