Postoji lema o zameni iz koje ovo sledi i to ne samo u konačnom slučaju.
Pretpostavimo da su sistemi oblika
i
, pri čemu može biti i
. Ako je
, onda tvrđenje neposredno sledi jer je
. Pretpostavimo zato da je
.
(1)
.
Obzirom da je sistem
linearno nezavisan, vektor
je različit od nule. Stoga postoji neko
takvo da je
. Razmotrimo sistem
.
Na osnovu izbora vektora
svaki element sistema
pripada linearnom omotaču sistema
.
Takođe, sistem
je linearno nezavisan. U protivnom važi
,
pri čemu bar jedan od skalara
nije nula. Zbog linearne nezavisnosti sistema
mora biti
, pa je
,
za neke skalare
. Međutim, na osnovu (1) je
,
odnosno vektor
je linearna kombinacija preostalih vektora sistema
, što ej u suprotnosti sa njegovom linearnom nezavisnošću.
Neka je
sistem koji se dobija od sistema
zamenom vektora na mestu
sa
. On ima isti lineani omotač kao
. Zaista, vektor
je linearna kombinacija vektora sistema
, a vektor
je linearna kombinacija vektora sistema
na osnovu izbora vektora
i
.
Neka je
sistem koji se dobija zamenom vektora na mestima
i
u sistemu
. On ima isti linearni omotač kao i sistem
pa samim tim i
.
Međutim, sistemi
i
imaju prvih
elemanata zajedničkih. Produžavajući ovaj postupak dolazimo do slučaja
, koji je rešen.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.