Citat:
Bojan Basic: Ni ovo nije tačno. :) Postoje algebarski dokazi koji od analize traže samo teoremu o srednjoj vrednosti (takav je i upravo pomenuti D’Alamberov) — a ako je i to previše analize, postoji i 100 % algebarski dokaz preko Galoaove teorije.
Pa, sad, zavisi sta se smatra algebarskim dokazom. Tu se zapravo misli da se osnovni stav algebre ne moze dokazati samo koriscenjem aksioma uredjenih polja, bez aksioma neprekidnosti. Recimo, polje
zadovoljava sve aksiome uredjenih polja, ali nijedno rasirenje polja
stepena
nije algebarski zatvoreno, (ovde se naravno, pre svega misli na polje
, gde je
imaginarna jedinica), jer algebarska jednacina
stepena
ima racionalne koeficijente, a nijedan od njenih korena ne pripada nijednom od tih prosirenja.
Istina je da dokaz osnovnog stava algebre ne zahteva punu snagu aksioma neprekidnosti. Preciznije, aksiome neprekidnosti mozes oslabiti do aksioma realno zatvorenih polja. Drugim recima, za dokaz osnovnog stava algebre dovoljne su aksiome uredjenog polja + svaki pozitivan element polja ima kvadratni koren u polju + svaki polinom neparnog stepena sa koeficijentima iz polja ima bar jedan koren u polju. Prvi dokaz osnovnog stava algebre u realno zatvorenim poljima dao je Gaus, mada ih nije izdvojio kao aksiome jedne teorije. Taj Gausov dokaz se moze naci u udzbeniku algebre profesora Gojka Kalajdzica. Od dva dokaza koja je prilozio, jedan je taj, a drugi je preko Galoaove teorije. Oba koriste samo aksiome realno zatvorenih polja.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.