Postoji još jedno rešenje - to je geometrijski očigledno, ali da damo i analitički dokaz.
Lema
Ako su
i
neprekidne i surjektivne, onda postoji tačka
za koju je
.
Dokaz.
Zbog neprekidnosti f-je
mora da postoji barem jedan interval
takav da
.
Napomena: Na tom intervalu ne mora biti surjektivna. Ako neko želi dokaz postojanja intervala neka traži - pa ću napisati.
Uvedimo pomoćnu neprekidnu f-ju
i posmatrajmo je na intervalu
.
1. Ako
ima nulu, lema je dokazana.
2. Ako
nema nulu, onda ne mogu da postoje tačke
takve da
i
, jer bi zbog neprekidnosti postojala i neka tačka
između tačaka
i
za koju bi bilo
. Dakle,
je konstantnog znaka na
.
Ako je
, onda dobijamo da je za svako
što protivreči surjektivnosti f-je
.
Ako je
, onda dobijamo da je za svako
što protivreči surjektivnosti f-je
.
Dobijene kontradikcije dokazuju postojanje nule.
Sada možemo da primenimo lemu na zadatak.
Pa dobijamo da postoji još jedno rešenje
.
[Ovu poruku je menjao uranium dana 28.06.2006. u 03:45 GMT+1]
Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.