Još veći napredak - konačno sam rešio zadatak! Mislim da je ovo definitivno zadatak koji me je najviše izmučio ikada, ali sad mu je došao kraj.
Nadam se da se niko neće ljutiti što odmah objavljujem rešenje umesto da još malo sačekam, ali ipak, možda je neko već i probao da ga uradi pa nije uspeo, ko hoće još malo da se muči sam neka još ne čita ovo što ću napisati, a ja sam nestrpljiv da podelim ovo, po mom (neskromnom) mišljenju, zaista sjajno rešenje. Samo da napomenem da ćete verovatno videti nebulozne tehnike koje nijedna normalna osoba ne koristi prilikom rešavanja funkcionalnih jednačina, ali eto ja ih koristio :) Dakle, svi vi koji hoćete još malo da pokušavate sami ovo je pravi momenat da prestanete sa čitanjem, svi ostali nastavite :)
Najpre navodim rezultat:
Data funkcionalna jednačina ima rešenja za i samo za neparne
i za
.
Rešenje ide u 3 dela.
1) Neparno
ili
.
Kolega uranium je ovo već napisao, ali ponoviću kompletnosti radi. U ovom slučaju funkcionalna jednačina ima jedno rešenje
za neparno
, odnosno
(
je proizvoljna konstanta) za
.
2)
Malo ću izmeniti oznake radi lakšeg snalaženja. Dokazaću sledeće:
Ne postoji funkcija
za koju važi:
gde je
unapred zadati prirodan broj.
Dokaz:
Najpre indukcijom po
dokazujemo sledeće tvrđenje:
Pretpostavimo da postoji broj
takav da je
. Uvrštavajući
u relaciju
imamo:
pa dobijamo kontradikciju. Dakle, tvrđenje zaista važi za
. Pretpostavimo da važi za sve brojeve manje od
i dokazujemo istinitost za
. Opet pretpostavimo da postoji
za koje važi
. Uvrštavajući
u
imamo:
Primetimo da ako
onda mora biti i
, jer je
(na osnovu indukcijskih hipoteza). Kako je
, to je i
, pa je i
. Time smo dobili kontradikciju, pa je dokaz tvrđenja
završen. Primetimo da štaviše važi stroga nejednakost, i da ovo tvrđenje neposredno implicira da je
rastuća.
Neka je niz
dat rekurentnom formulom
,
. Dokazaćemo indukcijom po
da za sve
i sve
važi sledeće tvrđenje (koje neposredno implicira da takva funkcija ne postoji):
Uvrštavajući
u jednakost
imamo
, pa mora biti
, a pošto je funkcija rastuća za sve
važi
. Pretpostavimo da
važi za
. Za bilo koje
iz
imamo:
3) Parno
Evo ga ono baksuzno :)
Neka je
. Tada je i
, odnosno
iz čega dobijamo i
, pa iteracijom zaključujemo da važi i
za sve
. Imamo dve mogućnosti: ili je
periodična (počevši od neke tačke) ako je
ili je injektivna.
Pretpostavimo da je periodična. Tada uzima konačan skup vrednosti. Neka je
najveća od njih. Ukoliko je
uvrštavanjem
u datu funkcionalnu jednačinu dobijamo da je
, kontradikcija. Dakle,
je jedina najveća slika. Neka je
druga po veličini (ne mora biti jedinstvena). Iz polazne jednačine dobijamo
(u suprotnom
ne bi bila druga po veličini), pa pošto je
jedinstvena sledi da postoji broj (konkretno
je u pitanju) koji se slika u
. Takođe primetimo da se prva dva po veličini elementa razlikuju baš za
, a slično, ako je
treći po veličini onda važi
pa je i razlika drugog i trećeg po veličini upravo
, i tako sve do kraja. Dakle, skup vrednosti posmatrane funkcije je skup
, gde je
neki prirodan broj, i pri tome je
. Neka je
period funkcije.
Pretpostavimo da se samo
nalazi van periodičnog dela. Tada je
. Dalje, imamo da važi:
S druge strane, takođe važi
. Iz ovog i prethodnog sledi da je
, odnosno
je fiksna tačka ove funkcije. Pokušajmo da nađemo prvu iteraciju
koja je fiksna tačka. Primetimo da je nemoguće
, kao i
(ovo drugo sledi iz jedinstvenosti
), pa nam preostaje
ili
. U oba slučaja dolazimo do situacije da je
za neke različite
. To dalje znači
, odnosno
. Kako je
, preostaje nam jedino da je
. Međutim, to znači
. Dakle, svi ovi brojevi se preslikavaju u istu sliku, recimo
. Ne može biti
jer bi tada bilo
. Važi
za sve
. Ako je
onda imamo
, odnosno
, dok za
odmah važi
, pa i
. Međutim, to dalje znači da za proizvoljne različite
imamo
, pa i
. Kontradikcija.
Dakle, bar još
se ne ubraja u periodičnost, odnosno vrednost
je jedinstvena. Neka je
. Ako je
onda iz jedinstvenosti
i činjenice da je
imamo da je
. Za
uzmimo
takvo da je
. Stavljajući
u početnu funkcionalnu jednačinu, dobijamo da je
, pa opet iz jedinstvenosti
imamo da je
. U oba slučaja smo dobili kontradikciju, jer, kako je ranije pokazano, broj
ne pripada skupu vrednosti posmatrane funkcije.
Time je dokazano da je
injekcija.
Neka je, dalje,
,
, i
. Ovi skupovi su međusobno disjunktni, a pošto je
injekcija, važi
. Očigledno je
i
. Pošto je
, imamo da je
. Primetimo još i da iz date funkcionalne jednačine sledi
.
Za
definišimo
. Označimo još i
. Može se dogoditi i da neko
ne postoji, i u tom slučaju ga jednostavno nadalje ignorišemo. Tvrdimo da je
. Za početak, očigledno je da
za sve
. S druge strane, ako bi za neko
važilo
, onda bismo imali
, što je u kontradikciji sa minimalnošću
. Proverimo sada da li neki element različit od svih
pripada posmatranoj uniji. Predstavimo ga u obliku
ukoliko je to moguće, odnosno ako to nije moguće u obliku
za neko
, gde
. Tada važi
, pa sledi
, odnosno
.
Dakle,
ima konačno mnogo elemenata, pa to važi i za
, odnosno svi sem konačno mnogo prirodnih brojeva su sadržani u skupu slika funkcije
. Zaključujemo da svi
postoje, pa
ima baš
elemenata. Međutim, kako su
i
disjunktni i sa istim brojem elemenata, njihova unija mora sadržati paran broj elemenata, dok je
neparno. Kontradikcija!
Moj duboki naklon i beskonačno divljenje svima koji su uspeli da ovo pročitaju do kraja :) Ako neko uspe da nađe jednostavnije rešenje od ovog ili bar da uprosti neki korak rešenju neka se ne ustručava da to ovde napiše, ja eto nisam uspeo. Naravno, kao i uvek ću rado otkloniti bilo kakve eventualne nejasnoće u vezi sa ovim mojim rešenjem.
Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.